le nombre d' or et la musique

1) – Intervalles musicaux et gammes.

On mesure l’intervalle séparant 2 notes de musique en calculant le rapport des fréquences caractérisant respectivement la note la plus aiguë et la note la plus grave.

La fréquence étant le nombre de vibration par seconde de la note.

Voici le tableau de fréquence des principales note de musique (sol 3 : càd le 3° octave en clé

de sol).

Note	Do2	Ré2	Mi2	Fa2	Sol2	La2	Si2	Do3	Ré3	Mi3	Fa3	Sol3	La3	Si 3	Do4	Ré4	Mi4	Fa4	Sol4	La4	Si4
Fréquence (Hz)	132	149	165	176	198	220	248	264	297	330	352	396	440	495	528	594	660	704	792	880	990
Proportion de la note par rapport au do3	1/2							1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2

Il y a un rapprochement entre le nombre d’or et l’une des gammes les plus célèbres : la gamme naturelle ou encore appelée la gamme des physiciens ou gamme de Zarlin (c’est le physicien qui en fixa les caractéristiques).

Cette gamme comporte 5 intervalles d’un ton :

- - do1-ré

- - ré-mi

- - fa-sol

- - sol-la

- - la-si

Et 2 intervalles d’un demi ton :

- - si-fa

- - si-do2

On remarque que la proportion du sol et du la sont 2 rapports de 2 termes consécutifs de la suite de Fibonacci, respectivement 3/2 et 5/3. Pour plus de facilité, nous noterons cette suite v(n) et sa définition est telle que v(n) = u(n+1)/u(n) ou u (n+1) et u(n) sont des termes de la suite de Fibonacci.

N.B : do2 est à l’octave de do1

2) Fibonaci est de retour

La superposition de 2 notes s’appelle un intervalle. Il y en a plusieurs types dans la gamme de Zarlin :

- - l’unisson : le rapport vaut 1/1

- - l’octave : le rapport vaut 2/1

- - la tierce mineure : le rapport vaut 6/5

- - la tierce majeure : le rapport vaut 5/4

- - la quarte : le rapport vaut 4/3

- - la quinte : le rapport vaut 3/2

- - la sixte mineure : le rapport vaut 5/3

- - la sixte majeure : le rapport vaut 8/5

Nous allons nous intéresser aux quintes et aux sixtes mineures. En effet, on obtient de 2 termes consécutifs de la série v(n) obtenue grâce à la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …).

Voici quelques intervalles et leur rapport :

Do-La : 5/3 => sixte mineure

Ré-Si : 5/3 => sixte mineure

Mi-Do+ : 8/5 => sixte majeure

Fa-Ré+ : 27/16

Sol-Mi+ : 5/3 => sixte mineure

La-Fa+ : 8/5 => sixte majeure

Si-Sol+ : 8/5 => sixte majeure

Do-Sol : 3/2 => quinte

Ré-La : 40/27

Mi-Si : 3/2 => quinte

Fa-Do+ : 3/2 => quinte

Sol-Ré+ : 3/2 => quinte

La-Mi+ : 3/2 => quinte

Si-Fa+ : 64/45 => quinte

3) Création de nouvelles gammes

La série v(n) de Fibonacci ne fournit pas une gamme de Zarlin complète. En effet, il manque les intervalles de seconde majeure et de septième mineure. La solution consiste à diéser ou bémoliser les notes de la gamme de Zarlin pour obtenir une gamme chromatique (suite de 12 demi-tons contenus dans 1 octave).

On obtient alors une gamme dodécaphonique mais celle ci présente un grave inconvénient :

Ø Ø Les demi-tons qu’elle comporte n’ont pas une valeur unique mais se répartissent 2 valeurs distinctes rendant toute transposition (opération courante en musique consistant à faire passer un texte musical d’une tonalité à une autre) impossible.

On surmonte ce problème en utilisant une gamme tempérée (gamme comportant 12 demi-tons tous rigoureusement égaux). Néanmoins, on devra renoncer à certaines qualités de la gamme de Zarlin.

Ø Ø Par le calcul, on trouve que la mesure de l’intervalle d’un demi-on est de .

Jusqu’à une certaine époque, la gamme de Zarlin et la gamme tempérée étaient utilisées par la majorité des compositeurs. Mais une nouvelle gamme fut créée : la gamme tempérée décaphonique.

Ø Ø Cette gamme est directement liée au nombre d’or. Chacun des dix intervalles élémentaires contenus dans l’équivalent d’une octave a pour valeur :

On peut trouver (par pure coïncidence) que : Ces 2 nombres sont assez proches l’un de l’autre.